学数学头大啊，不想学啊，但是又不能不学，TAT
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0 1/t 0 0
0 0 -2/fn (-f+n)/(f-n)
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Unity - A计划（一年有效期）
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Unity中透视投影矩阵
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平面投影
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结合初中知识 小孔成像 得出结论
当物体在原点前，投影平面在原点后，距离为d
┌ x ┐ ┌ x ┐ ┌ -dx/z ┐
p = │ y │ = > p' = │ y │ = │ -dy/z │
└ z ┘ └ z ┘ └ -d ┘
当投影平面也在原点前，距离为d时
┌ x ┐ ┌ -dx/z ┐
p' = │ y │ = │ -dy/z │
└ z ┘ └ -d ┘
一般仿射变换
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当做 绕不通过原点的轴旋转 或 沿不穿过原点的平面缩放 等类似的题目时
1) P向量使用平移矩阵T移到原点
2) P向量使用矩阵R进行线性变换
3) P向量使用矩阵T的逆矩阵T^(-1)移到之前位置
P T R T^(-1)
平移只影响到了4x4阶矩阵的最后一行的元素，而对它的其他的旋转矩阵或者线性矩阵没有任何影响
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判断矩阵是否可逆： |M| ≠ 0
奇异矩阵/不可逆矩阵：一个不可逆矩阵 |M| = 0
逆矩阵计算公式
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e.g.
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结合 |M| 来看
MM* = |M| I = M*M
note：M* 为 M 的伴随矩阵
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M M* = |M| I
M ( M* / |M| ) = I
M M^(-1) = I
M^(-1) = M* / |M|
变换分类
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线性变换
F(a + b) = F(a) + F(b)
F(ka) = kF(a)
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F(a) = am // m为任意方阵
F(a + b) = (a + b) m
= am + bm
= F(a) + F(b)
F( ka ) = (ka) M
= k (am)
= k F(a)
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如果 F(0) = a, 且 a ≠ 0, 那么 F不可能是线性变换
F(k0) = a F(k0) ≠ kF(0)
线性变换不会出现平移，因为原点位置上不会变化
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反射变换
反射变换是指线性变换后接着平移
Vector V
Matrix M
V' = VM + b //反射变换
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可逆变换
V' = VM V = V'M^(-1)
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等角变换
变换前后夹角大小方向不变
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正交变换
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刚体变换
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旋转矩阵与平移矩阵结合
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1) 已知旋转矩阵 R 和平移矩阵 T
2) 根据公式，可得矩阵
3) 如果把 [Δx, Δy, Δz] = t, 那么可得
平移矩阵
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2D齐次坐标 (x, y, w) 3x3阶
3D齐次坐标 (x, y, z, w) 4x4阶
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4x4 阶平移矩阵
1) 一般三维坐标
2) 加入 w 变为齐次坐标
3) 转换矩阵为单位矩阵并加入 Δx, Δy和Δz来实现平移
齐次空间
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对于一个2D的点 ( x, y )，在齐次空间中表示为 (x, y, w)，那么2D点的真实表示发生为 2D(x/w, y/w )
在2D中 如果w = 0， 那么表示无限远的一个点
对于一个3D的点 ( x, y, z )，在齐次空间中表示为 (x, y, z, w)，那么3D点的真实表示发生为 3D(x/w, y/w, z/w)
在3D中 如果w = 0， 那么表示无限远的一个点
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目的：为了之后做平移点变换
正交基与标准正交基
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一组正交基：基矢量直接互相垂直
标准正交基：给个基矢量长度为1
正交矩阵是一组标准正交基
如果使用一组正交基构建矩阵，不一定是正交矩阵
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施密特正交化
施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。
Reference:
百度百科, 2018, 施密特正交化， Link: https://baike.baidu.com/item/%E6%96%BD%E5%AF%86%E7%89%B9%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E5%8C%96/756386?fr=aladdin [Accessed Date: 2018/04/12]
正交矩阵
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定义：MM^(T) = I
如果 M 是正交矩阵，那么 MM^(T) = I
结合之前的 M(M^(-1)) = I
那么 M^(T) = M^(-1)
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验证一个矩阵是否为正交矩阵，推导
1) 展开 M M^(T) = I
2) 计算 I 的值
3) 替换M 为三个向量 r_1, r_2, 和 r_3
4) 根具 1)、2) 和 3) 可得，再找出重复和特殊的
5) 得出结论
a. 只有当 r_1, r_2 和 r_3 为单位向量时，点积才为1
b. r_1 ⊥ r_2 ⊥ r_3
c. 矩阵每行为单位向量
d. 矩阵所有行互相垂直
继承的一个作用：代码复用和结构复用
方法：算法逻辑代码复用
泛型：结构进行复用
伴随矩阵
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行列式性质复习
1. 行列式与它的转置行列式相等
2. 互换行列式两行(列)，行列式变号
3. 行列式的某一行)(列)中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
4. 行列式中如果又两行(列)成比例，则此行列式等于零
5. 若行列式都某一行(列)的元素都是两数之和，那么可以拆分成两个行列式
6.把行列式的某一行(列)的个元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上，行列式不变
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几何解释
2D中，行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积
3D中，行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六边形的有符号体积
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伴随矩阵：矩阵M每一个元素的代数余子式所围成的矩阵的转置
M = A^T
e.g.
伴随矩阵和矩阵的逆有关系
M (M^(-1)) = M^(-1) M = I
行列式按行按列展开法则
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行列式等于它的任意行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和；
(更具性质：若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和，可以把行列式分开写)
代数余子式性质
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证明：D = a_(ij)A_(ij)
如果a_(ij) 在第一行第一列
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如果a_(ij) 不在第一行第一列
什么。0时泛型：泛型就是可以下先不定义等使用的时候再定义
学到的性知识点
泛型是结构的复用
方法是逻辑的复用
params 可变参数
会造成xiao
行列式证明三角行列式性质
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如果已知
那么 D = D_1D_2
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一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除(i,j)元 a_(ij) 外都为0，那么这个行列式就等于：
D = a_(ij)A_(ij)
三阶行列式
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| m_11 m_12 m_13 |
M = | m_21 m_22 m_23 |
| m_31 m_32 m_33 |
| M | = m_11m_22m33 +m_12m_23m_32 + m_13m_21m_32 - m_13m_22m_31 - m_32m_23m_11 - m_21m_12m_33 ;
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三维叉乘
Vector3D a,b;
i = (1,0,0)
j = (0,1,0)
k = (0,0,1)
| i j k |
a x b = | a.x a.y a.z | = (a.y b.z - b.y a.z)i - (a.x b.z - b.x a.z)j + (a.x b.y - b.x a.y)k ;
| b.x b.y b.z |
a x b = (a.y b.z - b.y a.z)i - (a.x b.z - b.x a.z)j + (a.x b.y - b.x a.y)k ;
二阶行列式
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| m_11 m_12 |
M = | m_21 m_22 |
| M | = m_11m_22 - m_12m_21
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extra note:
行列式与矩阵的区别与联系
1、行列式的本质是线性变换的放大率，而矩阵的本质就是个数表。
2、行列式行数=列数，矩阵不一定（行数列数都等于n的叫n阶方阵），二者的表示方式亦有区别。
3、行列式与矩阵的运算明显不同
1) 相等：只有两个同型的矩阵才有可能相等，并且要求对应元素都相等；而两个行列式相等不要求其对应元素都相等，甚至阶数还可以不一样，只要两个行列式作为两个数的值是相等即可。
2) 加（减）法：两个矩阵相加（减）是将其对应元素相加（减），因此只有同型的矩阵才可以相加（减）；而两行列式作为两个数总是可以相加（减）的。
3) 数乘运算：一个数乘以矩阵是指该数乘以矩阵的每一个元素；而数乘行列式，只能用此数乘行列式的某一行或列，提取公因数也是如此。
4) 乘法：矩阵的乘法不满足交换律，所以，一般地， AB≠BA。但是，如果 A与 B 都是 n 阶方阵，则有 |AB|=|A| |B|=|B| |A|=|BA|。
Reference:
百度知道, 2018, 行列式与矩阵的区别与联系, Link: https://zhidao.baidu.com/question/97241681.html [Accessed Date: 2018/04/12]
